Simulación Weibull

Para qué sirve

Un análisis de Weibull con datos de campo entrega un número para β, y con ese número se decide si un modo de falla es de desgaste, aleatorio o de mortalidad infantil. Lo que el número no dice es cuánto habría cambiado si la misma población hubiera producido otra muestra. Este módulo responde esa pregunta: con β y η conocidos, genera muchas muestras, las ajusta y muestra la dispersión de los resultados.

La respuesta sirve para dos cosas prácticas: saber con cuántas fallas se puede tomar una decisión de mantenimiento y elegir el método de estimación según el tipo de datos.

Cómo usarlo

Fijar el β y el η de la población. El resultado relativo (β estimado dividido por β verdadero) no depende de η, y en muestras completas tampoco depende del valor de β.
Elegir el diseño de la muestra:
- Completa: fallan todas las unidades.
- Truncada por fallas: el ensayo o la observación se detiene en la falla número r; las demás unidades quedan suspendidas en ese instante.
- Truncada por tiempo: las unidades que no fallaron hasta el tiempo de ensayo quedan suspendidas. Es lo más parecido a una extracción de datos del CMMS en una fecha de corte.
Elegir la cantidad de muestras y la semilla. Con la misma semilla el resultado se repite exactamente.

Modelo

Cada tiempo de falla se genera por transformada inversa a partir de un número aleatorio uniforme $u$ :

t = \eta\,\left[-\ln(1-u)\right]^{1/\beta}

Cada muestra se ajusta por tres métodos:

RRX: regresión de X sobre Y en el papel de Weibull, con rangos ajustados de Johnson y rangos de mediana de Bernard. La calculadora usa por defecto los rangos exactos; la diferencia entre ambos es mínima frente a la variabilidad de muestreo.
MLE: máxima verosimilitud con censura por derecha.
MLE con RBA: el β de máxima verosimilitud multiplicado por el factor de reducción de sesgo de Abernethy, $C_4^{3{,}5}$ , calculado con el número de fallas.

Para cada método se resumen los percentiles 5, 50 y 95 del β estimado, el sesgo medio y el error cuadrático medio relativo:

\text{sesgo} = \frac{\overline{\hat\beta}}{\beta} - 1 \qquad \text{RMSE} = \frac{1}{\beta}\sqrt{\frac{1}{M}\sum_{m=1}^{M}\left(\hat\beta_m - \beta\right)^2}

El gráfico de precisión repite el ejercicio con muestras completas de 3 a 50 fallas, 300 muestras por tamaño.

Nota

En muestras completas y en muestras truncadas por fallas, el cociente entre β estimado y β verdadero tiene una distribución que no depende de los parámetros de la población. Por eso la banda de precisión según el número de fallas vale para cualquier componente. En muestras truncadas por tiempo, en cambio, la precisión depende de qué fracción de la población falla antes del corte.

Qué muestra el ejemplo

Población con β = 2,5 y η = 1000 h, muestras completas de 10 unidades, 1000 repeticiones con semilla 2026:

Método	Mediana de β	90 % de las muestras	Sesgo medio	RMSE relativo
RRX	2,42	1,49 – 4,07	+1,9 %	32,3 %
MLE	2,73	1,82 – 4,26	+13,7 %	34,3 %
MLE con RBA	2,48	1,66 – 3,87	+3,2 %	28,7 %

Tres lecturas:

Diez fallas no alcanzan para afinar β. Un análisis individual puede dar cualquier valor entre 1,5 y 4, es decir, entre desgaste moderado y desgaste rápido. Sí alcanzan para afirmar que hay desgaste: menos del 0,5 % de las muestras dio β menor que 1.
MLE sin corregir sobreestima β con pocas fallas. Con 10 fallas el sesgo medio es del 14 %; la corrección RBA lo lleva a niveles que no cambian ninguna decisión.
La vida B10 es más incierta de lo que parece. La B10 verdadera es 407 h; con RBA, el 90 % de las estimaciones cae entre 227 y 613 h. Un intervalo de reemplazo calculado con diez fallas tiene, como mínimo, esa incertidumbre.

La banda de precisión según el número de fallas resume la regla práctica:

Fallas en la muestra	90 % de las estimaciones de β (MLE con RBA)
3	0,46 β – 4,49 β
5	0,55 β – 2,18 β
10	0,67 β – 1,65 β
20	0,75 β – 1,38 β
50	0,83 β – 1,23 β

Para conocer β con un error de alrededor de ±20 % hacen falta unas 50 fallas del mismo modo. Con menos, el análisis sirve para distinguir el tipo de falla, no para afinar un intervalo.

Los otros ejemplos precargados muestran situaciones típicas:

Ensayo de 20 unidades detenido en la quinta falla. Con solo 5 fallas y 15 suspensiones, la mediana de β por MLE sin corregir es 3,34, un 34 % por encima del valor verdadero. RRX y MLE con RBA quedan más cerca (2,55 y 2,69), pero el 90 % de las estimaciones con RBA se extiende de 1,26 a 6,54.
Ensayo de 600 h con 20 unidades. Fallan en promedio 5,1 unidades y el 2,9 % de las muestras tiene menos de dos fallas, con lo que no admite ajuste de dos parámetros. Aquí la corrección RBA, derivada para muestras completas, sobrecorrige: su mediana es 2,15 contra 2,74 de MLE sin corregir.
Fallas aleatorias con cinco datos (β = 1). El 49 % de los análisis por RRX daría β mayor que 1 y sugeriría desgaste donde no lo hay. La B10 estimada va de 47 a 2223 h para una B10 verdadera de 527 h.

Supuestos y límites

Unidades idénticas e independientes, un único modo de falla y censura por derecha. Los datos reales agregan mezcla de modos, edades mal registradas y fallas detectadas en inspecciones sin fecha exacta: la incertidumbre real es mayor que la simulada.
La simulación no incluye el efecto de un β supuesto (Weibayes). Con menos de cinco fallas, ese suele ser el único camino razonable.

Verificación

Caso de prueba	Resultado	Referencia	Fuente	Estado
Simulación Weibull: mediana de β̂ (MLE con RBA, n = 30)	2,00689	2	β verdadero = 2	OK
Simulación Weibull: mediana de η̂ (MLE, n = 30)	99,0571	100	η verdadero = 100	OK
Simulación Weibull: sesgo positivo de β̂ MLE con 5 fallas (45,6 %)	cumple	cumple	Abernethy (2006)	OK
Simulación Weibull: RBA reduce el sesgo de MLE (17,2 %)	cumple	cumple	Abernethy (2006)	OK

Pruebas ejecutadas en cada compilación del sitio (2026-10-15). Código en tests/models.test.mjs.

Referencias

Abernethy, R. B. (2006). The New Weibull Handbook, 5.ª ed. Edición del autor. Capítulos sobre comparación de métodos y reducción de sesgo.
IEC 61649:2008. Weibull analysis.
Thoman, D. R., Bain, L. J. y Antle, C. E. (1969). Inferences on the parameters of the Weibull distribution. Technometrics, 11(3), 445–460.
Meeker, W. Q., Escobar, L. A. y Pascual, F. G. (2022). Statistical Methods for Reliability Data, 2.ª ed. Wiley.